Ejercicios Sistemas Numericos

Ejercicios Prácticos

1) Pasar el número 782010 a binario, a octal y a hexadecimal

2) Pasar el número 3AE16 a binario y a decimal.

3) Pasar el número 11,0100112 a decimal.

4) Pasar el número 34,687510 a binario.

5) Pasar el número 2198 a decimal.

6) Realizar las siguientes operaciones

a) 1010100 + 11110

b) 11010101 - 1101101

c) 100000 – 10110

d) 100110 * 1101

e) 1100011 / 101

7)

a) Pasar el número 57610 y el número 48210 a binario

b) Sumarlos y restarlos en binario.

c) Hacer el circuito sumador/restador automático completo para realizar esta operación.

d) Dibujar el sumador/restador automático para un bit (en forma detallada)

8)

a) Pasar el número 85710 y el número 72410 a BCD Natural

b) Sumarlos y restarlo en BCD Natural

c) Hacer el circuito sumador/restador automático completo para realizar esta operación

e) Dibujar el sumador/restador automático BCD Natural completo para un bit (en forma detallada).

Respuestas

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BCD Natural

BCD Natural

Otra forma de ingresar dígitos decimales en una computadora es codificarlos en BCD. Este código asigna 4 bits a los dígitos decimales del 0 al 9 con los pesos 8, 4, 2, 1.

Suma en BCD natural

Los circuitos que necesitamos utilizar son los mismos que los usados en binario pero agregando un circuito corrector para poder trabajar con BCD natural (y poder sumarle el número 6 cuando sea necesario).

Veamos como se construye el circuito corrector:

Circuito Completo Corrector

Resta en BCD Natural

Para restar se debe sumar al minuendo (M), el complemento a 10 del sustraendo (Ca10). Esto se logra sumando 1 al complemento a 9.

Recordemos la operatoria del Sistema Decimal:

1. Para obtener el Ca9, debo invertir el Sustraendo bit por bit y luego sumarle el valor fijo 1010 a cada uno de ellos DESCARTANDO en acarreo.

2. Sumar al minuendo, el Ca9 obtenido en el paso anterior, +1 como una suma común en BCD.

Veamos cómo se implementa esta operatoria mediante circuitos:

Circuitos Complementadores a 9 en BCD Natural

Sumador/Restador Controlado en BCD Natural de 3 Dígitos

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Circuitos Sumadores

Circuitos Sumadores

Medio Sumador

Sean M y N variables de entrada, y S y C variables de salida, tenemos:

Se denomina medio sumador porque no toma en cuenta el acarreo y sólo puede emplearse para sumar los bits menos significativos. Este medio sumador no puede hermanar el “carry” a la siguiente suma de bits, por lo tanto necesitamos la electrónica adecuada para poder usar el otro medio sumador.

Los dos bits del resultado se han asignado a dos variables C y S. Al bit de suma se lo simboliza normalmente S, mientras que para el acarreo se utiliza la letra C, dado que en el idioma inglés carry significa acarreo.

S = A + B
C = A • B

La figura muestra el circuito y el símbolo que corresponden al medio sumador.

Sumador Completo

Si tomamos en cuenta el acarreo de entrada (Ci), la tabla de verdad de un sumador de 1 bit completo es:

De esta tabla de verdad se pueden realizar distintos circuitos sumadores que tengan en cuenta el carry de entrada y salida.

Mapa K para el carry (C)

En caso existen distintas maneras de agrupar los 1 del mapa:

a) Primer circuito posible

Este circuito no se usa porque tiene muchas compuertas.

b) Segundo circuito posible (es el que se termina usando para construir el sumador)

La compuerta Exor lograda ya la teníamos para la suma, entonces podemos usarla y de esta forma achicamos el circuito. En definitiva, este es el circuito que se usa en la práctica.

c) Tercer circuito posible

Se utiliza el mismo circuito que en el caso b), pero ha y que cambiar las variables A y Ci. No se usa en la práctica.

Las ecuaciones que dan la relación funcional existente entre sus entradas y sus salidas que se deducen de la tabla de verdad (en el caso del acarreo de salida), tras un proceso de simplificación usando el mapa K que se muestra abajo:

Y el circuito de un sumador completo de 1 bit hecho en dos niveles sería:

Este circuito no se utiliza porque tiene muchas compuertas AND para detectar el carry.

En el siguiente sumador de 4n bits se aprecia el traspaso del acarreo que produce en cada columna, hacia la columna ubicada a su izquierda.

Sumador Completo

Tiene que haber UN SUMADOR COMPLETO POR CADA BIT.

Si el cable de salida de toda la cadena de sumadores da 1, hay OVERFLOW, ya que tiene un límite finito, determinado por la capacidad física, es decir, la cantidad total de sumadores.

En este ejemplo tenemos un “carry” = 1 a la salida de la primera suma (1+1), por lo tanto debemos agregar otro sumador para que electrónicamente sea anulado y pase a ser el carry de entrada para la siguiente suma (1+0+carry).


Sumador Completo aplicado a una RESTA

Para realizar una resta usando el mismo circuito sumador deberíamos agregar una compuerta inversora en el cable (S) y poner un 1 en el primer carry de entrada cuando se presiona la tecla "-" (menos).

Cuando es una suma, el carry de entrada (CE) = 0
Cuando es una resta, el carry de entrada (CE) = 1

Si bien logramos adaptar el circuito sumador para poder restar, este nuevo circuito no puede hacer las dos operaciones al mismo tiempo: o suma o resta. Con lo cual nos obligaría a tener 2 circuitos, uno para cada operación. Para esto lo que necesitamos es poder controlar una variable de manera tal que sume o reste según queramos.

El circuito requerido para esta función es:

La Exor trabaja como un inversor controlado por el “CE”

Si CE = 0 no invierte
Si CE = 1 invierte

Hay 32 moléculas para 32 bits. Corresponde una molécula por bit.

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Operaciones Binarias

Operaciones en Base 2

Suma binaria

Es semejante a la suma en el sistema decimal, con la diferencia que se manejan sólo dos dígitos, de tal forma que cuando el resultado excede los símbolos utilizados se agrega el exceso (denominado acarreo)a la suma parcial siguiente hacia la izquierda.

Resta binaria

Al igual que en la suma, la resta binaria también es similar a la decimal, con la salvedad que se manejan lo dos dígitos que componen el sistema binario. Para realizar una resta binaria hay que tener en cuenta que al realizar las restas parciales entre dos dígitos de igual posición (uno del minuendo y otro del sustraendo):

1- si el segundo excede al primero, se sustrae una unidad del dígito de más a la izquierda en el minuendo (si existe y vale 1) convirtiéndose este último en cero y equivaliendo la unidad extraída a 1x2 en el minuendo de la resta parcial que estamos realizando.

2- si es 0 el dígito siguiente a la izquierda, se busca en los sucesivos teniendo en cuenta que su valor se multiplica por dos a cada desplazamiento a la derecha.

La UAL no resta de esta forma. Como veremos más adelante, la UAL utiliza los mismos circuitos sumadores.

Multiplicación binaria

La multiplicación en este sistema se realiza de forma similar a la decimal, pero la suma final de los productos parciales se realiza en binario.

División binaria

La división binaria, al igual que las operaciones anteriores, se realiza en forma similar a la división decimal, sólo que las multiplicaciones y restas internas al proceso de división se hacen en binario.

Notación: multiplicando por 1 al divisor si éste último es menor o igual que el resto parcial en cuestión o por 0 si el mismo es mayor que dicho resto.


Complemento a la Base o Módulo

Como se expresó más arriba, la UAL utiliza los mismos circuitos sumadores para realizar las restas. Este concepto permite hacer restas mediante sumas y representar número negativos.

Resta mediante el complemento del sustraendo: nos permite aprovechar un mismo circuito sumador para sumar o restar.

a) Sistema Decimal (base 10)

Otra forma es mediante el Complemento a 9 + 1 = Complemento a 10

b) Sistema Binario (base 2)

Si en lugar de efectuar la resta anterior sumamos al minuendo el Complemento a 2 (Ca2) del Sustraendo, trasformamos una resta en suma. Análogamente a los complementos del sistema decimal, esto también se logra a través de la utilización del Complemento a + 1 = Complemento a 2. Veamos ambos casos:

A continuación se muestra una forma rápida de obtener los complementos del sustraendo según se busque Ca2 o el Ca1+1. Sigamos el siguiente ejemplo:

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Sistemas de Numeracion: Decimal, Binario, Octal, Hexadecimal

Representación de Datos

El hombre en su vida diaria se expresa, comunica, almacena información y la maneja mediante el sistema decimal, desde el punto de vista numérico, y a través de un determinado idioma desde el punto de vista alfabético.

De la misma forma, la Computadora, debido a su construcción basada fundamentalmente en circuitos electrónicos digitales, lo hace desde ambos puntos de vista con el sistema binario, utilizando una serie de códigos que permiten su perfecto funcionamiento. Este el el motivo que nos obliga a transformar internamente todos nuestros datos, tanto numéricos como alfanuméricos, en una representación binaria para que la máquina sea capaz de procesarlos.

Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Su característica principal es la base, que es el número de símbolos distintos que utiliza y además es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo la posición relativa que ocupe.

Número en base B = Número(B)

1) Sistema Decimal (base 10)

También denominado “de base o raíz diez”, el sistema decimal es uno de los denominados "posicionales" que utiliza un conjunto de símbolos cuyo signifcado o valor depende de su posición relativa al punto decimal (.).
Como se explicó más arriba, la base de este sistema (10) corresponde al número de simbolos (cifras o dígitos) que utiliza para la representación de cantidades. Éstos componen la siguiente sucesión monótona creciente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Entonces, por ejemplo, el número 10.30310 sería:

Lo que hemos hecho es multiplicar cada dígito por potencias de la base según su posición relativa. De forma genérica, un número decimal puede expresarse a través de la siguiente fórmula correspondiente al Teorema fundamental de la numeración:

Donde:

base = 10

i = posición respecto de la coma

m = número de dígitos a la derecha de la coma

n = número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1

dígito = cada uno de los que componen el número

Luego veremos que esta técnica es aplicable a cualquier sistema de numeración.

2) Sistema Binario (base 2)

Este es el sistema utilizado opr los circuitos digitales que componen el hardware de las computadoras. La base o número de dígitos que utiliza este sistema forman la siguiente sucesión:

0 1

Cada cifra de un número representado es este sistema se dem¡nomina bit (binary digit)

2.1 Conversión decimal a binario

Existen varios métodos para efectuar el pasaje desde el sistema decimal al binario.

1º método: Sucesivas divisiones por la base del sistema al que quiero llegar: En este caso, como vamos a convertir a binario, cuya base expresada en decimal es 2, dividiremos sucesivamente por dicho número.

Ejemplo: convertir el 21310 a binario.

El binario resultante surge de leer de derecha a izquierda, comenzando por el último cociente y siguiendo por los restos de las divisiones efectuadas, por lo tanto:

213₁₀ = 11010101₂

2º método: Restas sucesivas de las máximas potencias de 2: consiste en tomar el número a convertir y buscar la potencia de dos más grande que se le pueda descontar (obsérvese la tabla que se resenta).

Tomando como nuevo número para seguir el resultado de la resta, se repite este paso hasta que el resultado de alguna de las restas sea 0 o inferior al error que deseamos cometer en la conversión. El número binario resultante será el que surja de colocar un 1 en las posiciones correspondientes a las potencias restadas y un 0 en las que no se han utilizado en la operación.

2.2 Conversión binario a decimal

1º método: multiplicaciones por potencias de la base

Siguiendo el criterio ya visto antes, convertiremos el 110101012 a decimal.

2º método: Regla de Ruffini: Otra forma para saber a que número decimal le corresponde un binario es aplicanndo esta regla:

3) Sistema Octal (base 8)

Este también es un sistema posicional que nos permite hacer conversiones rápidas desde y hacia el sistema binario. Los 8 dígitos utilizados para representar cantidades son:

0 1 2 3 4 5 6 7

Para comprender cómo funciona, expresamos primero cada dígito octal en forma binaria:

Examinando la tabla, podemos sacar como conclusión que necesitamos un máximo de 3 bits (es decir 3 dígitos binarios) para representar un dígito octal.

3.1 Conversión octal a binario
Para representar un número octal como binario, simplemente tomamos cada uno de los octales y los expresamos en binarios de 3 bits. Comenzando derecha a izquierda y de ser necesario completando con ceros a la izquierda.

Este caso no tiene solución, pues el 928 no es un número octal. Recordar que sólo los números del 0 al 7 componen el sistema octal.

3.2 Conversión binario a octal

Para representar un binario como octal, procedemos a agrupar el binario de a 3 bits de derecha a izquierda.

3.3 Conversión octal a decimal

Como ya sabemos, para pasar desde cualquier sistema al decimal, tenemos 2 métodos:

1º método: multiplicando por potencias de la base del sistema a que se quiere llegar.

3.4 Conversión decimal a octal

Utilizamos el método de sucesivas divisiones por la base.

Ejemplo: convertir el 175₁₀ a octal

Otra forma de hacer esta conversión es pasando primero el número decimal a binario(mediante cualquiera de los métodos vistos anteriormente) y luego a Octal:

175₁₀  = 10101111₂ = 257₈

4) Sistema Hexadecimal (base 16)

El sistema hexadecimal tiene 16 símbolos distintos que constituyen su base. Del 0 al 9 coinciden en significado con los correspondientes decimales; para los 6 restantes se crearon los símbolos de la A a la F, en correspondencia con sus equivalentes decimales:

Símbolos del sistema hexadecimal:

Al igual que el sistema octal, es un sistema sencillo para convertir a binario y viceversa.

Veamos cada uno de sus símbolos representados en binario:

Observamos en la tabla que necesitamos un máximo de 4 bits para representar un símbolo hexadecimal.


4.1 Conversión hexadecimal a binario

1º método: Para representar un hexadecimal como binario, tomamos cada una de las cifras hexadecimales y la expresamos en su binario de 4 bits correspondiente según la tabla anterior:

Ejemplo 2: convertir el 3G₁₆  a binario.

Esto no tiene solución, pues no existe el símbolo hexadecimal “G”.

4.2 Conversión binario a hexadecimal

Para representar un binario como hexadecimal, procedemos a agrupar el binario de a 4 bits de derecha a izquierda.

4.3 Conversión hexadecimal a decimal

1º método: multiplicando cada dígito por potencias de la base según su posición relativa dentro del número total.

Ejemplo: convertir el 24B₁₆  a decimal

24B₁₆ = 2 x 16² + 4 x 16¹  + 11 x 16⁰  = 11 + 64 + 512 =  587₁₀

4.4 Conversión decimal a hexadecimal

Utilizamos el método de sucesivas divisiones por la base

4.5 Conversión hexadecimal a octal

Para realizar esta conversión, primero convertimos el hexadecimal a binario, y luego este último a octal (ambos pasajes se explicaron anteriormente).

Ejemplo: convertir el 3C₁₆ a octal

Como se indicó:   3C₁₆ = 111100₂  = 74₈

4.6 Conversión octal a hexadecimal

Análogamente, en este caso primero pasamos el octal a binario, y luego este último a hexadecimal:

Ejemplo: convertir el 27₈ a hexadecimal

27₈ = 00010111₂  = 17₁₆

Resumen de conversiones entre sistemas

A continuación se presenta un cuadro con el resumen de las conversiones entre sistemas de numeración:

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