Sistemas de Numeracion: Decimal, Binario, Octal, Hexadecimal

Representación de Datos

El hombre en su vida diaria se expresa, comunica, almacena información y la maneja mediante el sistema decimal, desde el punto de vista numérico, y a través de un determinado idioma desde el punto de vista alfabético.

De la misma forma, la Computadora, debido a su construcción basada fundamentalmente en circuitos electrónicos digitales, lo hace desde ambos puntos de vista con el sistema binario, utilizando una serie de códigos que permiten su perfecto funcionamiento. Este el el motivo que nos obliga a transformar internamente todos nuestros datos, tanto numéricos como alfanuméricos, en una representación binaria para que la máquina sea capaz de procesarlos.

Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades. Su característica principal es la base, que es el número de símbolos distintos que utiliza y además es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo la posición relativa que ocupe.

Número en base B = Número(B)

1) Sistema Decimal (base 10)

También denominado “de base o raíz diez”, el sistema decimal es uno de los denominados "posicionales" que utiliza un conjunto de símbolos cuyo signifcado o valor depende de su posición relativa al punto decimal (.).
Como se explicó más arriba, la base de este sistema (10) corresponde al número de simbolos (cifras o dígitos) que utiliza para la representación de cantidades. Éstos componen la siguiente sucesión monótona creciente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Entonces, por ejemplo, el número 10.30310 sería:

Lo que hemos hecho es multiplicar cada dígito por potencias de la base según su posición relativa. De forma genérica, un número decimal puede expresarse a través de la siguiente fórmula correspondiente al Teorema fundamental de la numeración:

Donde:

base = 10

i = posición respecto de la coma

m = número de dígitos a la derecha de la coma

n = número de dígitos a la izquierda de la coma menos 1

dígito = cada uno de los que componen el número

Luego veremos que esta técnica es aplicable a cualquier sistema de numeración.

2) Sistema Binario (base 2)

Este es el sistema utilizado opr los circuitos digitales que componen el hardware de las computadoras. La base o número de dígitos que utiliza este sistema forman la siguiente sucesión:

0 1

Cada cifra de un número representado es este sistema se dem¡nomina bit (binary digit)

2.1 Conversión decimal a binario

Existen varios métodos para efectuar el pasaje desde el sistema decimal al binario.

1º método: Sucesivas divisiones por la base del sistema al que quiero llegar: En este caso, como vamos a convertir a binario, cuya base expresada en decimal es 2, dividiremos sucesivamente por dicho número.

Ejemplo: convertir el 21310 a binario.

El binario resultante surge de leer de derecha a izquierda, comenzando por el último cociente y siguiendo por los restos de las divisiones efectuadas, por lo tanto:

213₁₀ = 11010101₂

2º método: Restas sucesivas de las máximas potencias de 2: consiste en tomar el número a convertir y buscar la potencia de dos más grande que se le pueda descontar (obsérvese la tabla que se resenta).

Tomando como nuevo número para seguir el resultado de la resta, se repite este paso hasta que el resultado de alguna de las restas sea 0 o inferior al error que deseamos cometer en la conversión. El número binario resultante será el que surja de colocar un 1 en las posiciones correspondientes a las potencias restadas y un 0 en las que no se han utilizado en la operación.

2.2 Conversión binario a decimal

1º método: multiplicaciones por potencias de la base

Siguiendo el criterio ya visto antes, convertiremos el 110101012 a decimal.

2º método: Regla de Ruffini: Otra forma para saber a que número decimal le corresponde un binario es aplicanndo esta regla:

3) Sistema Octal (base 8)

Este también es un sistema posicional que nos permite hacer conversiones rápidas desde y hacia el sistema binario. Los 8 dígitos utilizados para representar cantidades son:

0 1 2 3 4 5 6 7

Para comprender cómo funciona, expresamos primero cada dígito octal en forma binaria:

Examinando la tabla, podemos sacar como conclusión que necesitamos un máximo de 3 bits (es decir 3 dígitos binarios) para representar un dígito octal.

3.1 Conversión octal a binario
Para representar un número octal como binario, simplemente tomamos cada uno de los octales y los expresamos en binarios de 3 bits. Comenzando derecha a izquierda y de ser necesario completando con ceros a la izquierda.

Este caso no tiene solución, pues el 928 no es un número octal. Recordar que sólo los números del 0 al 7 componen el sistema octal.

3.2 Conversión binario a octal

Para representar un binario como octal, procedemos a agrupar el binario de a 3 bits de derecha a izquierda.

3.3 Conversión octal a decimal

Como ya sabemos, para pasar desde cualquier sistema al decimal, tenemos 2 métodos:

1º método: multiplicando por potencias de la base del sistema a que se quiere llegar.

3.4 Conversión decimal a octal

Utilizamos el método de sucesivas divisiones por la base.

Ejemplo: convertir el 175₁₀ a octal

Otra forma de hacer esta conversión es pasando primero el número decimal a binario(mediante cualquiera de los métodos vistos anteriormente) y luego a Octal:

175₁₀  = 10101111₂ = 257₈

4) Sistema Hexadecimal (base 16)

El sistema hexadecimal tiene 16 símbolos distintos que constituyen su base. Del 0 al 9 coinciden en significado con los correspondientes decimales; para los 6 restantes se crearon los símbolos de la A a la F, en correspondencia con sus equivalentes decimales:

Símbolos del sistema hexadecimal:

Al igual que el sistema octal, es un sistema sencillo para convertir a binario y viceversa.

Veamos cada uno de sus símbolos representados en binario:

Observamos en la tabla que necesitamos un máximo de 4 bits para representar un símbolo hexadecimal.


4.1 Conversión hexadecimal a binario

1º método: Para representar un hexadecimal como binario, tomamos cada una de las cifras hexadecimales y la expresamos en su binario de 4 bits correspondiente según la tabla anterior:

Ejemplo 2: convertir el 3G₁₆  a binario.

Esto no tiene solución, pues no existe el símbolo hexadecimal “G”.

4.2 Conversión binario a hexadecimal

Para representar un binario como hexadecimal, procedemos a agrupar el binario de a 4 bits de derecha a izquierda.

4.3 Conversión hexadecimal a decimal

1º método: multiplicando cada dígito por potencias de la base según su posición relativa dentro del número total.

Ejemplo: convertir el 24B₁₆  a decimal

24B₁₆ = 2 x 16² + 4 x 16¹  + 11 x 16⁰  = 11 + 64 + 512 =  587₁₀

4.4 Conversión decimal a hexadecimal

Utilizamos el método de sucesivas divisiones por la base

4.5 Conversión hexadecimal a octal

Para realizar esta conversión, primero convertimos el hexadecimal a binario, y luego este último a octal (ambos pasajes se explicaron anteriormente).

Ejemplo: convertir el 3C₁₆ a octal

Como se indicó:   3C₁₆ = 111100₂  = 74₈

4.6 Conversión octal a hexadecimal

Análogamente, en este caso primero pasamos el octal a binario, y luego este último a hexadecimal:

Ejemplo: convertir el 27₈ a hexadecimal

27₈ = 00010111₂  = 17₁₆

Resumen de conversiones entre sistemas

A continuación se presenta un cuadro con el resumen de las conversiones entre sistemas de numeración: